Problema matemático de los palitos

Hoy os traemos un problema de mates con solución, aunque antes de ir a su solución os recomendamos que os estrujéis un poco cerebro:
problema

El problema matemático

Utilizando los 7 palitos cuyos largos están indicados, y disponiéndolos uno tras otro sin cortarlos, se forma un rectángulo.

¿Cuáles son las dimensiones de este rectángulo?

Solución del problema matemático

Digamos que el rectángulo formado tenga base de longitud “A” y altura de longitud “B”. Entonces la longítud total del rectángulo es 2*(A+B).

Por otro lado, la suma total de las longitudes de los palitos señalados en la figura es 46. De esta forma, si todos los palitos son dispuesto de alguna manera que formen tal rectangulo se debe tener que:

Longitud del rectángulo = Suma de las longitudes de los palitos

o sea,

2(A+B)=46

lo que nos da:

A+B=23.

Observe que, como 23 es un numero impar, entonces la suma de las longitudes de los palitos que forman una de las cara de longitud A y una de las caras laterales de longitud B, solo puede contener al palito de longitud 7 o al palito de longitud 9, pero no a ambos a la vez (si la cara de longitud A contiene al palito de longitud 7 por ejemplo, el palito de longitud 9 debe ayudar a formar la otra cara de longitud A del rectágulo).

Analicemos todas las posibilidades de distribuir palitos cuya suma de sus longitudes sea 23 y que contengan al palito de longitud 7.
(O sea la suma de las longitudes de los palitos restantes a ser distribuidos debe ser 23-7=16)

Sumas posibles (A+B) donde una de las caras contiene al palito 7:

  • 7+10+6=23
  • 7+10+4+2=23
  • 7+8+6+2=23

Analicemos ahora, caso por caso:

Caso I: 7+10+6=23

En este caso las opciones posible son tres:

  • A=7, B=16
  • A=17, B=6
  • A=13, B=10

Note que no puede ocurrir el caso en que A=7, pues con los palitos que no ocupamos de longitudes 2,4, 8 y 9 no podremos formar la otra cara paralela del rectángulo que debe tener longitud 7.

Podria ocurrir que A=17=10+7, y entonces B=6. En este caso, es posible formar las caras paralelas con los palitos que no ocupamos de longitudes 2,4, 8 y 9 (17=8+9, 6=4+2). De forma que esta es una configuración posible, el réctágulo podría medir 17×6.

La tercera alternativa es que A=13 y B=10. De nuevo, en este caso es posible formar las caras paralelas con los palitos que no ocupamos de longitudes 2,4, 8 y 9 (13=4+9, 10=8+2). De forma que esta es una configuración posible, el réctágulo también podría medir 13×10.

Caso II: 7+10+4+2=23

En este caso las posibilidades son siete:

  • A=7, B=16
  • A=17 (7+10), B=6
  • A=21(7+10+4) , B=2
  • A=19 (7+10+2) , B=4
  • A=11 (7+4) , B=12
  • A=13 (7+4+2) , B=10
  • A=9 (7+2) , B=14

Para construir las caras paralelas tenemos los palitos cuyas longitudes son 6,8 y 9. De hecho, las unicas caras con longitud impar que podemos contruir con los palitos restantes son de longitud 9, 15 y 17, asi que podemos descartar las alternativas 1., 3., 4., 5. y 6. anteriores. las alternativas 2. y 7. ya fueron analizadas y sabemos que son posibles.

Caso III: 7+8+6+2=23

En este caso las posibilidades son seis:

  • A=7, B=16
  • A=15 (7+8), B=8
  • A=21(7+8+6) , B=2
  • A=17 (7+8+2) , B=6
  • A=13 (7+6) , B=10
  • A=9 (7+2) , B=14

Las longitudes de los palitos que no ocupamos son 4, 9 y 10. De forma que podemos descartar rápidamente las opciones 1., 2., 3. y 4. En ninguno de esos casos es posible construir una cara paralela de longitud A con los palitos restantes. Por otro lado,
es claro que las opciones posibles son la 5. y 6. ya que podemos construir las caras paralelas con los palitos que nos sobran.

Resumiendo: es posible construir un rectángulo de 17×6, 13×10 o bien de 9×14.

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